Théorie
À un instant t de la descente le disque de Maxwell (voir schéma ci-dessous) possède une énergie potentielle, \(E_{pot}\), une énergie cinétique de translation, \(E_{trans}\) et une énergie cinétique de rotation, \(E_{rot}\).
L'énergie totale, \(E\), du disque à l'instant \(t\) vaut :
\(E=E_{pot}+E_{trans}+E_{rot}\)
ou
\(E=-m.g.h+\frac{1}{2}m.v^{2}+\frac{1}{2}I.\omega^{2}\) eq (1)
où :
\(g\) : accélération de la pesanteur
\(I\) : moment d'inertie du disque par rapport à l'axe de rotation
\(v\) : vitesse de déplacement verticale (translation)
\(ω\) : vitesse angulaire de rotation
La vitesse angulaire de rotation peut être décrite en fonction de la vitesse de déplacement verticale : lorsque le disque descend d'une distance \(dy\), il tourne d'un angle \(d\alpha\) (voir schéma ci-dessus) :
\(dy=r.\alpha\) d'où \(v=\frac{dy}{dt}=r.\frac{d\alpha}{dt}=r.\omega\)
avec r le rayon de l'axe du disque.
\(E=-m.g.y(t) + \frac{1}{2}(m+\frac{1}{r^ {2}}).v(t)^{2}\) eq (2)
La théorie indique que l'énergie totale du disque est constante au cours du temps.
D'où l'équation de mouvement et l'expression de l'accélération verticale du disque, \(\gamma(t)\):
\(\frac{dE}{dt}=0=-m.g.v(t)+(m+\frac{I}{r^{2}}).v(t).\gamma(t)\) eq (3)
\(\gamma(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{m.g}{(m+\frac{I}{r^{2}})}\) eq (4)
Par intégrations successives on obtient les expressions de la vitesse \(v(t)\) et de la hauteur du disque, \(y(t)\) suivantes :
\(v(t)=\int\gamma(t).dt=\frac{m.g}{(m+\frac{I}{r^{2}})}.t+K\) eq (5)
\(y(t)=\int v(t).dt=\frac{1}{2}.\frac{m.g}{(m+\frac{I}{r^{2}})}.t^{2}+K.t+L\) eq (6)
Si nous considérons les conditions initiales : vitesse et hauteur initiale nulles à l'instant t = 0
\(t=0, v(0)=0 \;\Rightarrow K=0 \Rightarrow v(t)=\frac{m.g}{(m+\frac{I}{r^{2}})}.t\) eq (7)
\(t=0, y(0)=0 \;\Rightarrow L=0 \Rightarrow y(t)=\frac{1}{2}\frac{m.g}{(m+\frac{I}{r^{2}})}.t^{2}\) eq (8)