Tube de Kundt

Dans l'air et dans d'autres gaz, les ondes sonores se propagent sous forme de modifications rapides de pression et de densité.

Le plus simple est de les décrire à l'aide de la pression acoustique, qui se superpose à la pression atmosphérique.

Comme variante à la pression acoustique \(P\), on peut aussi se servir de la vitesse acoustique \(u\) pour décrire une onde sonore, c'est-à-dire la vitesse moyenne des particules à l'endroit \(x\) dans le fluide oscillant au temps \(t\).

La pression et la vitesse acoustiques sont corrélées par l'équation de mouvement d'Euler :

\(-\frac{\partial P}{\partial x}=\rho_{0}.\frac{\partial u}{\partial t}\qquad \qquad eq(1)\)

(\(\rho_{0}\): masse volumique du gaz)

Dans le tube de Kundt, les ondes sonores se propagent le long du tube.

Elles peuvent donc être décrites par une équation d'onde unidimensionnelle qui s'applique tant à la pression qu'à la vitesse acoustique :

\(-\frac{\partial^{2}P(x,t)}{\partial t^{2}}=c^{2}.\frac{\partial^{2}P(x,t)}{\partial x^{2}} \qquad \qquad eq(2)\)

ou

\(-\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}=c^{2}.\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}\)

avec \(c\) : vitesse de propagation des ondes sonores.

Dans un gaz parfait de masse molaire \(M\) et de température \(T\) on a

\(c=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}\;avec\; \gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}; \;R=8,315 J K^{-1}mol^{-1} \qquad \qquad eq(3)\)

La détermination de la vitesse du son dans un gaz permet donc de déduire des grandeurs thermodynamiques tels que les chaleurs spécifiques à pression et volume constant, \(C_p\) et \(C_v\).

Dans l'expérience, on observe des ondes sinusoïdales qui sont complètement réfléchies à l'extrémité du tube de Kundt.

Comme solutions de l'équation d'onde, on observe donc les superpositions d'ondes incidentes et réfléchies :

\(P=(A_{i}e^{j(-\frac{2\pi x}{\lambda})}+A_{r}e^{j(-\frac{2\pi x}{\lambda})})e^{j(\omega t)} \qquad \qquad eq(4)\)

avec \(A_i (u_i)\) et \(A_r (u_r)\) les amplitudes de l'onde incidente et réfléchie, respectivement ; la pulsation \(\omega=2\pi f\) et \(\lambda\) la longueur d'onde telle que :

\(\lambda.f=c \qquad \qquad eq(5)\)

En appliquant ces solutions à l'équation (1) et en considérant séparément les ondes incidentes et réfléchies, on obtient les relations suivantes :

\(A_{i}=u_{i}Z\) et \(A_{r}=u_{r}Z \qquad \qquad eq(6)\)

La grandeur \(Z=C \rho_{0}\) est l'impédance acoustique caractéristique du fluide.

Elle joue un rôle important lorsqu'on observe les réflexions d'une onde sonore arrivant sous incidence normale contre un parois d'impédance W .

Le coefficient de réflexion en amplitude est donc :

\(r_{u}=\frac{u_{r}}{u_{i}}=\frac{Z-W}{Z+W} \qquad \qquad (en\: vitesse)\) et \(r_{p}=\frac{A_{r}}{A_{i}}=\frac{W-Z}{Z+W} \qquad (en\:pression) \qquad \qquad eq(8)\)

Dans notre expérience, \(W\) est beaucoup plus élevé que \(Z\) et, par conséquent,

\(r_{u}=-1\) et \(r_{p}=+1\).

Si, pour des raisons de simplicité, on imagine la surface rigide à \(x = 0\), il résulte de (4):

\(P=A_{i}(e^{j(-\frac{2\pi x}{\lambda})}+e^{j(\frac{2\pi x}{\lambda})})e^{j(\omega t)}\qquad\qquad eq(9)\)

\(=2 A_{i}\: cos(\frac{2\pi x}{\lambda})e^{j(\omega t)}\)

et

\(u=u_{i}(e^{j(-\frac{2\pi x}{\lambda})}+e^{j(\frac{2\pi x}{\lambda})})e^{j(\omega t)}\qquad\qquad eq(10)\)

\(=2 u_{i}\: sin(\frac{2\pi x}{\lambda})e^{j(\omega t)}\)

La réalité physique ne retient que les parties réelles de ces termes qui correspondent à des ondes sonores stationnaires (il n'y a plus de propagation) dont la pression acoustique contre la paroi (donc à \(x = 0\)) présente un ventre, tandis que la vitesse acoustique y montre un nœud.

En outre, la vitesse précède la pression d'un déphasage de \(90°\).

On peut montrer que deux nœuds voisins sont séparés par :

\(d_{nn}=\frac{\lambda}{2}\)

et deux ventres voisins par :

\(d_{vv}=\frac{\lambda}{2}\)

Les ondes sonores sont générées par un haut-parleur placé en \(x=L\).

Ces ondes oscillent à la fréquence \(f\). La pression acoustique y forme également un ventre et la vitesse acoustique un nœud.

Ces conditions ne peuvent être réunies que si \(L\) constitue un multiple entier d'une demi-longueur d'onde :

\(L=n\frac{\lambda_{n}}{2}\qquad\qquad eq(11)\)

Par conséquent, en raison de (4), les fréquences doivent remplir la condition de résonance d'onde stationnaire

\(f_{n}=n.\frac{c}{2L}\qquad\hspace{1em}eq(12)\)

On dit qu'il y a résonance pour certain modes propres d'oscillation. La fréquence la plus basse accessible est la fréquence fondamentale et les fréquences successives suivantes sont les harmoniques.