1.3 Oscillations amorties
Lorsque le coefficient \(\gamma\)est différent de 0, les solutions de cette équation différentielles peuvent s'écrire sous la forme suivante, en supposant que le pendule est lâché sans vitesse initiale, et que le frottement n'est pas important.
\(\phi=\Phi_{0\:}e^{-\frac{\gamma}{2}t}cos(\omega t)\)
La pulsation \(\omega\) du résonateur est modifiée légèrement par rapport à la pulsation propre \(\omega_{0}\) selon la relation :
\(\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}}\)
Les oscillations sont donc amorties avec une amplitude qui décroit de façon exponentielle en \(e^{-\frac{\gamma}{2}t}\).
Le calcul du coefficient d'amortissement peut être effectué en mesurant l'amplitude successive des oscillations.
Soit \(\phi_{n}\) l'amplitude maximale de la n-ième oscillation, et soit T la période d'oscillation, la relation précédente montre que :
\(\frac{\phi_{n}}{\phi_{n+1}}=\frac{e^{-\frac{\gamma}{2}t}}{e^{-\frac{\gamma}{2}(t+T)}}=e^{\frac{\gamma}{2}T}=K\)
On peut remarquer que d'une oscillation à l'autre, le rapport des amplitudes maximales K reste le même. Il s'en suit que :
\(ln(K)=\frac{\gamma}{2}T\)