Etude du pendule pesant

Par opposition au pendule simple, dont toute la masse est supposée concentrée en un seul point, un pendule pesant est constitué d'un solide pouvant osciller autour d'un axe fixe (Δ) passant par l'un de ses points (par exemple, la balançoire avec l'enfant ou le balancier de l'horloge).

On appelle :

• \(G\), le centre de gravité du pendule de masse totale m ;

• \(O\), la position de l'axe de rotation (Δ) normal à la feuille (autrement dit, O est le point correspondant à l'intersection de l'axe de rotation Δ avec le plan des oscillations de G);

• \(a\), la distance OG ;

• \(\alpha\), l'écart angulaire de OG par rapport à la verticale ;

• \(J\), le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe de rotation (Δ).

Appliquons le théorème du moment cinétique (TMC) par rapport à O : la somme des moments des forces appliquées au pendule est égale à \(J.\ddot{\alpha}\), où \(\ddot{\alpha}=\frac{d^{2}\alpha}{dt^{2}}\) est l'accélération angulaire du mouvement d'oscillation.

Dans le cas théorique d'un pendule se déplaçant sans frottement, les forces appliquées au système

défini par le pendule sont :

- Le poids du pendule, dont le moment par rapport à O est un vecteur exprimé par \(\overrightarrow{OG}\:\wedge m.\vec{g}\) de norme \(mga.sin\alpha\) mais avec un signe -, car ce vecteur "rentre" dans la feuille;

- La force de réaction du support qui passe par O, non dessinée ci-dessus et dont le moment par rapport à O est nul (car sa droite d'action coupe toujours l'axe de rotation Δ)

Le TMC fournit ainsi l'équation différentielle du mouvement : \(J.\ddot{\alpha}=-mga.(sin\alpha)\)

Cette équation n'a pas de solution analytique, sauf si l'angle α reste petit (oscillations de faibles amplitudes). Dans ce cas, on peut remplacer \(sinα\) par \(α\) et l'équation devient \(J.\ddot{\alpha}+mga.\alpha=0\)

dont la solution est \(\alpha(t)=\alpha_{M}.cos(\omega t),\: avec\:\omega=\sqrt{\frac{mga}{J}}\)

en supposant que le pendule est lâché sans vitesse initiale avec un écart angulaire \(\alpha_{M}\) à l'instant \(t= 0\).

La période de l'oscillation est alors \(T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{J}{mga}}\) (1)