Module d'Young complexe

Pour une lame réalisée dans un matériau idéal de Hooke (par exemple un métal classique) en vibration de flexion, les fréquences de résonance, \(f_i\), de la lame sont décrites par :

\(f_{i}=\frac{2}{\Pi}\frac{\beta_{i}^{2}}{L^{2}}\sqrt{\frac{E.I}{\rho.S}}\) (formule 1)

où :

\(E\) est le module d'Young du matériau,

\(\rho\) la masse volumique du matériau,

\(L\) la longueur de la barre,

\(S\) est la section (constante), \(S = b.e\)

\(I\) le moment quadratique d'une section droite de la barre par rapport à son axe de flexion :

soit pour une section rectangulaire, avec \(b\) l'épaisseur et \(e\) la largeur de la barre

\(I=\frac{b.e^{3}}{12}\)

\(\beta_1\) = 1.875 ; \(\beta_2\) = 4.694 ; \(\beta_3\) =7.855; \(\beta_4\) =10.996 (les valeurs de \(\beta\) pour les 4 premières fréquences de résonance).

♦Question 1 :

A partir des valeurs de \(\beta_1\), \(\beta_2\), \(\beta_3\), \(\beta_4\) données et de la relation entre la fréquence de résonance et \(E\) (formule 1) démontrer les relations entre les fréquences de résonance successives:

\(\frac{f_{2}}{f_{1}}=6,27\) ; \(\frac{f_{3}}{f_{2}}=2,80\) ; \(\frac{f_{4}}{f_{3}}=1,96\) (formules (2))

Les fréquences de résonance (formule (1)) sont donc la combinaison d'un terme \(\sqrt{\frac{E}{\rho}}\) caractérisant les propriétés intrinsèques du matériau (élasticité \(E\), inertie \(\rho\)) qui s'identifie à la vitesse de propagation du son dans la poutre et d'un terme géométrique \(\frac{1}{L^{2}}\sqrt{\frac{I}{S}}\) qui caractérise la géométrie de la structure.

♦Question 2 :

A partir de la formule (1), écrire l'expression simplifiée du module d'Young \(E\), en fonction des variables : fréquence \(f\), longueur \(L\), masse \(m\), largeur \(b\) et épaisseur \(e\) ;

♦Question 3 :

Démontrer que la dimension du module d'Young \(E\) est \(M.L^{-1}.T^{-2}\), c.à.d., la dimension d'une pression, donc l'unité de \(E\) est en Pascal (\(Pa\)).