2 Calcul du moment d'inertie
Le moment d'inertie d'un objet se calcule en décomposant l'objet en \(N\) petits objets élémentaires. Un petit objet élémentaire de masse ponctuelle \(dm\), situé à la distance \(r\) de l'axe de rotation, possède un moment d'inertie \(dI=dm.r^{2}\) .
Le moment d'inertie de l'objet entier est la somme des moments d'inertie de chaque élément :
\(I=\sum r^{2}.dm\;ou\;I=\int r^{2}.dm\)
Des considérations de symétrie, pour des objets de forme simple de masse \(M\), permettent d'obtenir les formules classiques (formules (\(I\)) ci-dessous) des moments d'inertie par rapport aux axes passant par le centre de gravité \(G\), (\(I_G = I\) dans les formules (1)).
Pour déterminer le moment d'inertie d'un objet par rapport à un axe quelconque, on utilise le
théorème de Huygens.
Théorème de Huygens :
Le moment d'inertie d'un objet, de masse \(M\), par rapport à un axe de rotation quelconque \(\Delta\), \(I_{\Delta}\) , est la somme
- du moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation parallèle à \(\Delta\) et passant par le centre de gravité de l'objet, \(I_G\)
- et du produit de la masse de l'objet par le carré de la distance entre les deux axes, \(d\)
\(I_{\Delta}=I_{G}+M.d^{2}\) (2)
On peut aussi démontrer que si deux solides \(S_1\) et \(S_2\) tournent autour du même axe \(\Delta\), le moment d'inertie du système constitué des deux objets, \(I_{\Delta}(S_{1}+S_{2})\) est :
\(I_{\Delta}(S_{1}+S_{2})=I_{\Delta}(S_{1})+I_{\Delta}(S_{2})\) (3), où \(𝐼_{\Delta}(𝑆_1)\) et \(𝐼_{\Delta}(𝑆_2)\) sont leurs moments d'inertie respectif par rapport au même axe \(\Delta\).