Moments d'inertie

Le dispositif expérimental de ce TP est constitué du solide à étudier placé sur une balance de torsion oscillante animée par un ressort de rappel en spirale possédant une constante élastique de torsion \(C\) qu'il faudra préalablement déterminer.

La mesure de la période d'oscillation de l'objet permettra de mesurer son moment d'inertie.

Le solide est soumis à l'action extérieure d'un ressort à spiral dont l'axe vertical est confondu avec

l'axe de révolution du solide.

Quand le ressort est comprimé grâce à une rotation d'un angle \(\theta\), il développe un couple de rappel qui tend à le ramener vers sa position d'équilibre.

Le couple de rappel \(\Gamma\) du ressort est la projection sur l'axe de rotation du moment de la force de rappel, i.e, \(\Gamma=-C.\theta\) , où \(C\) est la constante élastique de torsion caractéristique du ressort.

L'unité de C est donc \(N.m/rad\).

Une fois que les deux axes (du solide et celui du ressort) sont verticaux et coïncident, le solide n'est soumis qu'au couple de rappel du ressort.

La projection sur l'axe de rotation du moment cinétique du solide est égale à \(I.\theta\).

Le théorème du moment cinétique, projeté sur l'axe de rotation donne :

\(I.\ddot{\theta}=-C.\theta\;\Longleftrightarrow\;\ddot{\theta}+\frac{C}{I}.\theta=0\)

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique de pulsation

\(\omega=\sqrt{\frac{C}{I}}\)

donc la période T d'oscillation de torsion est donnée par

\(T=2\pi\sqrt{\frac{I}{C}}\) (1)

Si on connaît \(C\), la mesure de la période \(T\) permet donc d'obtenir le moment d'inertie \(I\).